题目内容

若数列{an}满足
a
2
n
-
a
2
n-1
=p（p为常数，n≥2，n∈N*），则称数列{an}为等方差数列，p为公方差，已知正数等方差数列{an}的首项a1=1，且a1，a2，a5成等比数列，a1≠a2，设集合A={Tn|Tn=
1
a1+a2
+
1
a2+a3
+…+
1
an+an+1
，1≤n≤100，n∈N*}，取A的非空子集B，若B的元素都是整数，则B为“完美子集”，那么集合A中的完美子集的个数为（　　）
分析：根据正数等方差数列{an}的首项a1=1，且a1，a2，a5成等比数列，a1≠a2，确定数列的通项，利用裂项法求和，可得A中的整数元素为1，2，3，4，5，6，即可求得结论．
解答：解：设数列{an}为正数等方差数列，p为公方差，则
a
2
2
-
a
2
1
=p，
a
2
3
-
a
2
2
=p，
a
2
4
-
a
2
3
=p，
a
2
5
-
a
2
4
=p
∴
a
2
5
-
a
2
1
=4p
∵a1=1，∴a2=
1+p
，a5=
1+4p

∵a1，a2，a5成等比数列，
∴1+p=
1+4p

∴p=0或p=2
∵a1≠a2，∴p=2
∴an=
1+2(n-1)
=
2n-1

∴
1
an+an+1
=
1
2n-1
+
2n+1
=
1
2
（
2n+1
-
2n-1
）
∴Tn=
1
a1+a2
+
1
a2+a3
+…+
1
an+an+1
=
1
2
（
2n+1
-1）
∴A中的整数元素为1，2，3，4，5，6
∵A的非空子集B，若B的元素都是整数，
∴集合A中的完美子集的个数为26-1=63
故选B．
点评：本题考查新定义，考查数列的通项与求和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
下列关于数列的命题中，正确的是（　　）
（2009•烟台二模）若数列{an}满足an+12-
a
2
n
=d（d为正常数，n∈N+），则称{an}为“等方差数列”．甲：数列{an}为等方差数列；乙：数列{an}为等差数列，则甲是乙的（　　）
（2012•三明模拟）若数列{an}满足a≤an≤b，其中a、b是常数，则称数列{an}为有界数列，a是数列{an}的下界，b是数列{an}的上界．现要在区间[-1，2）中取出20个数构成有界数列{bn}，并使数列{bn}有且仅有两项差的绝对值小于
1
m
，那么正数m的最小取值是（　　）
若数列{an}满足a≤an≤b，其中a、b是常数，则称数列{an}为有界数列，a是数列{an}的下界，b是数列{an}的上界．现要在区间[-1，2）中取出20个数构成有界数列{bn}，并使数列{bn}有且仅有两项差的绝对值小于，那么正数m的最小取值是（ ）
A．5
B．
C．7
D．
若数列{an}满足a≤an≤b，其中a、b是常数，则称数列{an}为有界数列，a是数列{an}的下界，b是数列{an}的上界．现要在区间[-1，2）中取出20个数构成有界数列{bn}，并使数列{bn}有且仅有两项差的绝对值小于，那么正数m的最小取值是（ ）
A．5
B．
C．7
D．

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