Question

（2012•湛江二模）设数列{a_n}满足：a1=

1

2

，

1

1-an+1

=

1

1-an

+1，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若[x]表示不超过实数x的最大整数，如[3.2]=3，[-1.3]=-2等，已知函数f（x）=[x]，数列{b_n}的通项为bn=f(

1

2

•

1

1-an

)，试求{b_n}的前2n项和S_2n．

Answer 1

分析：（1）由a1=

1

2

，

1

1-an+1

=

1

1-an

+1可得数列{

1

1-an

}是以

1

1-a1

= 2为等差数列，由等差数列的通项公式可求
（2）由bn=f(

1

2

•

1

1-an

)=f（

1+n

2

）可得，f（

2

2

）=f（

3

2

）=1，f（

4

2

）=f(

5

2

)=2，…f(

2n

2

)=f(

2n+1

2

)=n，代入可求和

解答：解：（1）由a1=

1

2

，

1

1-an+1

=

1

1-an

+1
可得数列{

1

1-an

}是以

1

1-a1

= 2为首项，以1为公差的等差数列（2分）
∴

1

1-an

=2+(n-1)•1=n+1（4分）
∴an=

n

n+1

（5分）
（2）bn=f(

1

2

•

1

1-an

)=f（

1+n

2

），又函数f（x）=[x]，
∴S2n=f(

2

2

)+f(

3

2

)+f(

4

2

)+…+f(

2n-2

2

)+f(

2n-1

2

)+f(

2n

2

)+f(

2n+1

2

)
=1+1+2+2+…+（n-1）+n+n（8分）
=2（1+2+…+n）
=n²+n（12分）

点评：本题主要考查了数列的通项公式、求和公式的应用，解题（2）的关键是由定义求出f（

1+n

2

）的值