Question

设曲线y=e^-x（x≥0）在点M（t，c^-1c）处的切线l与x轴y轴所围成的三角表面积为S（t）．
（Ⅰ）求切线l的方程；
（Ⅱ）求S（t）的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义即为点的斜率，对函数y=e^-x（x≥0）在点M（t，c^-1c）进行求导，然后根据电斜式求出切线方程；
（Ⅱ）根据三角形面积公式用t表示出S（t），然后由题意先对函数S进行求导，解出极值点，然后再根据函数的定义域，
把极值点代入已知函数，从而求解．

解答：解：（Ⅰ）因为f'（x）=（e^-x）'=-e^-x，
所以切线l的斜率为-e^-1，
故切线l的方程为y-e^-t=-e^-t（x-t）．
即e^-tx+y-e^-1（t+1）=0
（Ⅱ）令y=0得x=t+1，
又令x=0得y=e^-t（t+1）
所以S（t）=

1

2

(t+1)•e-1(t+1)
=

1

2

(t+1)2e-1
从而S′(t)=

1

2

e-1(1-t)(1+t).
∵当t∈（0，1）时，S'（t）＞0，
当t∈（1，+∞）时，S'（t）＜0，
所以S（t）的最大值为S（1）=

2

e

．

点评：此题主要还是考查导数的定义及利用导数来求区间函数的最值，利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力，解题的关键是求导要精确．