Question

如图，设曲线y=e^-x（x≥0）在点M（t，e^-t）处的切线l与x轴y轴所围成的三角形面积为S（t），求：
（1）切线l的方程；
（2）求证S(t)≤

2

e

．

Answer 1

分析：（1）先求切线斜率，进而可求切线方程；
（2）根据曲线y=e^-x（x≥0）在点M（t，e^-t）处的切线l与x轴y轴所围成的三角形面积为S（t），表示出S（t），再用导数法求解．

解答：解：（1）∵f′（x）=（e^-x）′=-e^-x，∴切线l的斜率为-e^-t
故切线l的方程为y-e^-t=-e^-t（x-t），即e^-tx+y-e^-t（t+1）=0
（2）证明：令y=0得x=t+1，又令x=0得y=e^-t（t+1），
∴S(t)=

1

2

(t+1)•e-t(t+1)=

1

2

(t+1)2e-t
从而S′(t)=

1

2

e-t(1-t)(1+t)．
∵当t∈（0，1）时，S′（t）＞0，当t∈（1，+∞）时，S′（t）＜0，
∴S（t）的最大值为S(1)=

2

e

，即S(t)≤

2

e

点评：应用导数法求函数的最值，并结合函数图象，可快速获解，也充分体现了求导法在证明不等式中的优越性．