Question

设曲线y=e^-x（x≥0）在点M（t，e^-t）处的切线l与x轴，y轴所围成的三角形面积为S（t），则S（t）的最大值为

2

e

．

Answer 1

分析：先求切线斜率，进而可求切线方程，根据曲线y=e^-x（x≥0）在点M（t，e^-t）处的切线l与x轴y轴所围成的三角形面积为S（t），表示出S（t），再用导数法求解．

解答：解：因为f'（x）=（e^-x）'=-e^-x，所以切线l的斜率为-e^-t，
故切线l的方程为y-e^-t=-e^-t（x-t），即e^-tx+y-e^-t（t+1）=0
令y=0得x=t+1，又令x=0得y=e^-t（t+1）
所以S（t）=

1

2

（t+1）•e^-1（t+1）=

1

2

（t+1）²e^-1
从而S′（t）=

1

2

e^-1（1-t）（1+t）．
∵当t∈（0，1）时，S'（t）＞0，当t∈（1，+∞）时，S'（t）＜0，
∴S（t）的最大值为S（1）=

2

e

．
故答案为：

2

e

点评：本题考查导数的几何意义及利用导数来求区间函数的最值，考查综合分析和解决问题的能力，解题的关键是正确求导．