Question

【题目】已知直线与椭圆相交于两点.

（1）若椭圆的离心率为，焦距为，求线段的长；

（2）若向量与向量互相垂直（其中为坐标原点），当椭圆的离心率时，求椭圆长轴长的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）根据椭圆的几何性质，求得的值，得到椭圆的标准方程，直线方程与椭圆的方程联立，求得交点的坐标，即可求解线段的长；（2）由，得，直线方程与椭圆方程联立，利用根与系数的关系和韦达定理，整理得，即可求解长轴的最大值.

试题解析：⑴，，∴，，则

∴椭圆的方程为；

联立，消去得：，设，，

则，，∴…………（6分）

⑵∵，∴，即，

由，消去得，

由，整理得，

又，，∴，

由得，∴

整理得：，∵，代入上式得

，∴，

∵，∴，∴，∴，∴，

∴，适合条件，

由此得，∴，故长轴长的最大值为……………（12分）