Question

设f（x）=x+

a

x

，g（x）=x³-x²-3
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（2）若x∈[0，2]，求函数g（x）的最大值和最小值；
（3）如果在[

1

2

，2]上任取s，t，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）把a=2代入到f（x）中化简得到f（x）的解析式，求出f'（x），因为曲线的切点为（1，f（1）），所以把x=1代入到f'（x）中求出切线的斜率，把x=1代入到f（x）中求出f（1）的值得到切点坐标，根据切点和斜率写出切线方程即可；
（2）借助于导数，将函数f（x）=x³-x²-3的最值问题转化为导函数进行研究．此题只须求出函数的导函数，利用导数求解即可．
（3）由（2）知，函数g（x）在[

1

2

，2]上的最大值，则问题在[

1

2

，2]上任取s，t，都有f（s）≥g（t）成立，只需当x∈[

1

2

，2]时，f（x）_min≥g（2）=1恒成立即可，然后利用分类讨论思想求函数f（x）在区间[

1

2

，2]上取得最大值，从而建立关于a的不等关系，则实数a的取值范围可求．

解答：解：（1）当a=2时，f（x）=x+

2

x

，
所以f′（x）=1-2x^-2，因此f′（1）=-1．
即曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为-1．…（4分）
又f（1）=3，
所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-3=-（x-1），
即x+y-4=0．…（6分）
（2）因为g（x）=x³-x²-3，所以g′（x）=3x²-2x．
令f'（x）=0，得x=0或x=

2

3

． …（8分）
①若0＜x＜

2

3

，则g'（x）＜0，g（x）在区间（0，

2

3

）上单调递减，
②若

2

3

＜x＜2，g'（x）＞0，函数g（x）在区间（

2

3

，2）上单调递增，
所以当x=

2

3

时，函数g（x）取得最小值-

85

27

，当x=2时，函数g（x）取得最大值为1．…（13分）
（3）由（2）知，函数g（x）在[

1

2

，2]上的最大值g（x）_max=g（2）=1．
∵在[

1

2

，2]上任取s，t，都有f（s）≥g（t）成立，
∴只需当x∈[

1

2

，2]时，f（x）_min≥g（2）=1恒成立即可，
当a≤0时，函数f（x）在[

1

2

，2]上的最小值

1

2

+2a≥1不可能；
当a＞0时，∵f（

1

2

）=

1

2

+2a≥1，∴a≥

1

4

．
当

1

4

≤a≤4时，函数f（x）在[

1

2

，2]上的最小值f（

a

）=2

a

≥1满足题意；
当a＞4时，函数f（x）在[

1

2

，2]上的最小值f（2）=2+

a

2

≥1满足题意；
故当a≥

1

4

时，在[

1

2

，2]上任取s，t，都有f（s）≥g（t）成立．

点评：考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的单调性以及根据函数的增减性得到函数的极值．灵活运用分类讨论的数学思想解决数学问题．本题考查利用导数研究函数的极值，导数的引入，为研究函数的极值与最值带来了方便．