Question

设f（x）=x+

a

x

，g（x）=x³-x²-3
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（2）若x∈[0，2]，求函数g（x）的最大值和最小值；
（3）如果在[

1

2

，2]上任取s，t，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）当a=2时，f（x）=x+

2

x

，
所以f′（x）=1-2x^-2，因此f′（1）=-1．
即曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为-1．…（4分）
又f（1）=3，
所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-3=-（x-1），
即x+y-4=0．…（6分）
（2）因为g（x）=x³-x²-3，所以g′（x）=3x²-2x．
令f'（x）=0，得x=0或x=

2

3

． …（8分）
①若0＜x＜

2

3

，则g'（x）＜0，g（x）在区间（0，

2

3

）上单调递减，
②若

2

3

＜x＜2，g'（x）＞0，函数g（x）在区间（

2

3

，2）上单调递增，
所以当x=

2

3

时，函数g（x）取得最小值-

85

27

，当x=2时，函数g（x）取得最大值为1．…（13分）
（3）由（2）知，函数g（x）在[

1

2

，2]上的最大值g（x）_max=g（2）=1．
∵在[

1

2

，2]上任取s，t，都有f（s）≥g（t）成立，
∴只需当x∈[

1

2

，2]时，f（x）_min≥g（2）=1恒成立即可，
当a≤0时，函数f（x）在[

1

2

，2]上的最小值

1

2

+2a≥1不可能；
当a＞0时，∵f（

1

2

）=

1

2

+2a≥1，∴a≥

1

4

．
当

1

4

≤a≤4时，函数f（x）在[

1

2

，2]上的最小值f（

a

）=2

a

≥1满足题意；
当a＞4时，函数f（x）在[

1

2

，2]上的最小值f（2）=2+

a

2

≥1满足题意；
故当a≥

1

4

时，在[

1

2

，2]上任取s，t，都有f（s）≥g（t）成立．