Question

设a＞0，如图，已知直线l：y=ax及曲线C：y=x²，C上的点Q₁的横坐标为a₁（0＜a₁＜a）．从C上的点Q_n（n≥1）作直线平行于x轴，交直线l于点P_n+1，再从点P_n+1作直线平行于y轴，交曲线C于点Q_n+1．Q_n（n=1，2，3，…）的横坐标构成数列{a_n}．
（Ⅰ）试求a_n+1与a_n的关系，并求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）当时，证明；
（Ⅲ）当a=1时，证明．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据Q_n，P_n+1，Q_n+1的坐标进而求得，进而通过公式法求得{a_n}的通项公式．

（2）把a=1代入，根据可推断，由于当k≥1时，．进而可知．

（3）由（Ⅰ）知，当a=1时，代入中，进而根据证明原式．
解答：（Ⅰ）解：∵．
∴，
∴
=
=，
∴．

（Ⅱ）证明：由a=1知a_n+1=a_n²，
∵，∴．
∵当k≥1时，．
∴；
（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知，当a=1时，，
因此
==．
点评：本小题主要考查二次函数、数列、不等式等基础知识，综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力，