Question

设a＞0，如图，已知直线l：y=ax及曲线C：y=x²，C上的点Q₁的横坐标为a₁ （0＜a₁＜a），从C上的点Q_n（n≥1）作直线平行于x轴，交直线l于点P_n+1，再从点P_n+1作直线平行于y轴，交曲线C于点Q_n+1，Q_n（n=1，2，3，…）的横坐标构成数列{a_n}，
（Ⅰ）试求a_n+1与a_n的关系，并求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）当a=1，a₁≤时，证明；
（Ⅲ）当a=1时，证明。

Answer 1

（Ⅰ）解：∵，
∴，
∴

，
∴。
（Ⅱ）证明：由a=1知，
∵，
∴，
∵当k≥1时，，
∴；
（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知，当a=1时，，
因此
。