Question

给出以下结论：
①f（x）=|x+1|-|x-1|是奇函数；                    ②g(x)=

1-x2

|x+2|-2

既不是奇函数也不是偶函数；
③F（x）=f（x）f（-x）（x∈R）是偶函数；          ④h(x)=lg

1-x

1+x

是奇函数．
其中正确的有（　　）个．

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：根据函数奇偶性的定义，先分析函数的定义域是否关于原点对称，进而分析f（-x）与f（x）的关系，分析出四个答案中对应函数的奇偶性后，综合讨论结果可得答案．

解答：解：∵f（x）=|x+1|-|x-1|，∴f（-x）=|-x+1|-|-x-1|=|x-1|-|x+1|=-f（x），故f（x）=|x+1|-|x-1|为奇函数；故①正确；
∵函数g(x)=

1-x2

|x+2|-2

的定义域为[-1，0）∪（0，1]关于原点对称，此时g(x)=

1-x2

|x+2|-2

=

1-x2

x

，∴g（-x）=

1-x2

-x

=-g（x），故函数g(x)=

1-x2

|x+2|-2

为奇函数，故②错误；
∵F（x）=f（x）f（-x），∴F（-x）=f（-x）f（x）=F（x），故F（x）=f（x）f（-x）为偶函数，即③正确；
∵h(x)=lg

1-x

1+x

的定义域（-1，1）关于原点对称，且h(-x)=lg

1+x

1-x

=-lg

1-x

1+x

=-h（x），故h(x)=lg

1-x

1+x

是奇函数，即④正确；
故选C

点评：本题考查的知识点是函数的奇偶性，熟练掌握函数奇偶性的定义及判定方法是解答的关键．