题目内容
已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，x∈[-2，2]表示的曲线过原点，且在x=±1处的切线斜率均为-1，给出以下结论：
①f（x）的解析式为f（x）=x3-4x，x∈[-2，2]；
②f（x）的极值点有且仅有一个；
③f（x）的最大值与最小值之和等于0．
其中正确的结论有（ ）
①f（x）的解析式为f（x）=x3-4x，x∈[-2，2]；
②f（x）的极值点有且仅有一个；
③f（x）的最大值与最小值之和等于0．
其中正确的结论有（ ）
分析：首先利用导数的几何意义及函数f（x）过原点，列方程组求出f（x）的解析式；则命题①可得出判断；最后令f′（x）=0，求出f（x）的极值点，进而求得f（x）的单调区间与最值，则命题②③得出判断．
解答：解：函数f（x）=x3+ax2+bx+c的图象过原点，可得c=0；
又f′（x）=3x2+2ax+b，且f（x）在x=±1处的切线斜率均为-1，
则有
，解得a=0，b=-4．
所以f（x）=x3-4x，f′（x）=3x2-4．
①可见f（x）=x3-4x，因此①正确；
②令f′（x）=0，得x=±
．因此②不正确；
所以f（x）在[-
，
]内递减，
且f（x）的极大值为f（-
）=
，极小值为f（
）=-
，两端点处f（-2）=f（2）=0，
所以f（x）的最大值为M=
，最小值为m=-
，则M+m=0，因此③正确．
所以正确的结论为①③，
故选C．
又f′（x）=3x2+2ax+b，且f（x）在x=±1处的切线斜率均为-1，
则有
|
所以f（x）=x3-4x，f′（x）=3x2-4．
①可见f（x）=x3-4x，因此①正确；
②令f′（x）=0，得x=±
2
| ||
| 3 |
所以f（x）在[-
2
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
且f（x）的极大值为f（-
2
| ||
| 3 |
16
| ||
| 9 |
2
| ||
| 3 |
16
| ||
| 9 |
所以f（x）的最大值为M=
16
| ||
| 9 |
16
| ||
| 9 |
所以正确的结论为①③，
故选C．
点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，应用导数求函数的极值点，最大值与最小值等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜| π |
| 2 |
A、f(x)=2sin(πx+
| ||
B、f(x)=2sin(2πx+
| ||
C、f(x)=2sin(πx+
| ||
D、f(x)=2sin(2πx+
|