Question

已知定义在R上的函数f（x）对任意实数x，y都满足f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞0给出以下结论：
①f（0）=1；
②f（x）为R上的奇函数；
③|f（x）|为R上的偶函数；
④f（x）为R上的增函数
⑤f（x）+1为R上的减函数；
其中正确的结论有

②④

．

Answer 1

分析：根据题设条件，令x=y=0，能够求出f（0）；令y=-x，得f（x）+f（-x）=0，由此能够判断f（x）为R上的奇偶性；在R上取x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，由x＞0时，f（x）＞0，能够判断f（x）为R上的增减性．

解答：解：∵定义在R上的函数f（x）对任意实数x，y都满足f（x+y）=f（x）+f（y），
令x=y=0，得f（0+0）=f（0）+f（0），即f（0）=2f（0），
∴f（0）=0，故①错误；
令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x），
∴f（x）+f（-x）=0，
∴f（x）为R上的奇函数，故②正确，③错误；
在R上取x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，
∵当x＞0时，f（x）＞0，
∴f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂）-f（x₁）＞0，
∴f（x）为R上的增函数，故④正确，⑤错误．
故选②④．

点评：本题考查命题的真假判断，解题时要认真审题，注意抽象函数的性质的灵活运用．