Question

（2012•贵阳模拟）在△ABC中，tanA=

2

3

，tanB=

1

5

．
（1）求角C的大小；
（2）如果△ABC的最大边长为

13

，求最小的边长．

Answer 1

分析：（1）根据两角和的正切公式，得到tan（A+B）=1，结合三角形内角和与正切的诱导公式，得tanC=-1，可得角C的大小；
（2）因为锐角A、B满足tanA＞tanB，所以B为最小角，AC边为最小边．根据同角三角函数的关系，算出sinB=

26

26

，结合正弦定理，即可算出最小的边AC长．

解答：解：（1）∵tanA=

2

3

，tanB=

1

5

，∴tan（A+B）=

tanA+tanB

1-tanAtanB

=

2 3 + 1 5

1- 2 3 × 1 5

=1，
∵C=π-（A+B），∴tanC=-tan（A+B）=-1．'
又∵0＜C＜π，∴C=

3π

4

．
（2）∵C=

3π

4

＞

π

2

，∴AB边最大，即AB=

13

，
又∵tanA＞tanB，A，B∈（0，

π

2

），
所以B为最小角，AC边为最小边．
∵

tanB= sinB cosB = 1 5 cos2B+sin2B=1

且B∈（0，

π

2

），
∴sinB=

26

26

（舍负）．
由

AB

sinC

=

AC

sinB

，得AC=

ABsinB

sinC

=

13 • 26 26

2 2

=1．
因此，最小的边AC=1．

点评：本题给出△ABC两个内角的正切值，求第三个角的大小并且在已知最大边情况下求最小边．考查了两角和的正切公式、正弦定理、诱导公式和同角三角函数基本关系等知识，属于中档题．