题目内容
（2012•贵阳模拟）若函数f（x）定义域为R，满足对任意x1，x2∈R，有f（x1+x2）≤f（x1）+f（x2），则称f（x）为“V形函数”；若函数g（x）定义域为R，g（x）恒大于0，且对任意x1，x2∈R，有lgg（x1+x2）≤lgg（x1）+lgg（x2），则称g（x）为“对数V形函数”．
（1）当f（x）=x2时，判断f（x）是否为V形函数，并说明理由；
（2）当g（x）=x2+2时，证明：g（x）是对数V形函数；
（3）若f（x）是V形函数，且满足对任意x∈R，有f（x）≥2，问f（x）是否为对数V形函数？证明你的结论．
（1）当f（x）=x2时，判断f（x）是否为V形函数，并说明理由；
（2）当g（x）=x2+2时，证明：g（x）是对数V形函数；
（3）若f（x）是V形函数，且满足对任意x∈R，有f（x）≥2，问f（x）是否为对数V形函数？证明你的结论．
分析：（1）由f（x1+x2）-[f（x1）+f（x2）]=（x1+x2）2-（x12+x22）=2x1x2，可得2x1x2符号不定，从而可得结论；
（2）利用反证法证明．假设对任意x1，x2∈R，有lgg（x1+x2）≤lgg（x1）+lgg（x2），则可得（x1+x2）2+2≤（x12+2）（x22+2），即证x12x22+（x1-x2）2+2≥0，显然成立；
（3）f（x）是对数V形函数，根据f（x）是V形函数，利用对任意x∈R，有f（x）≥2，证明f（x1+x2）≤f（x1）f（x2），从而可得f（x）是对数V形函数．
（2）利用反证法证明．假设对任意x1，x2∈R，有lgg（x1+x2）≤lgg（x1）+lgg（x2），则可得（x1+x2）2+2≤（x12+2）（x22+2），即证x12x22+（x1-x2）2+2≥0，显然成立；
（3）f（x）是对数V形函数，根据f（x）是V形函数，利用对任意x∈R，有f（x）≥2，证明f（x1+x2）≤f（x1）f（x2），从而可得f（x）是对数V形函数．
解答：（1）解：f（x1+x2）-[f（x1）+f（x2）]=（x1+x2）2-（x12+x22）=2x1x2
∵x1，x2∈R，∴2x1x2符号不定，∴当2x1x2≤0时，f（x）是V形函数；当2x1x2＞0时，f（x）不是V形函数；
（2）证明：假设对任意x1，x2∈R，有lgg（x1+x2）≤lgg（x1）+lgg（x2），
则lgg（x1+x2）-lgg（x1）-lgg（x2）=lg[（x1+x2）2+2]-lg（x12+2）-lg（x22+2）≤0，
∴（x1+x2）2+2≤（x12+2）（x22+2），
∴x12x22+（x1-x2）2+2≥0，显然成立，
∴假设正确，g（x）是对数V形函数；
（3）解：f（x）是对数V形函数
证明：∵f（x）是V形函数，∴对任意x1，x2∈R，有f（x1+x2）≤f（x1）+f（x2），
∵对任意x∈R，有f（x）≥2，∴
+
≤1，∴0＜f（x1）+f（x2）≤f（x1）f（x2），
∴f（x1+x2）≤f（x1）f（x2），
∴lgf（x1+x2）≤lgf（x1）+lgf（x2），
∴f（x）是对数V形函数．
∵x1，x2∈R，∴2x1x2符号不定，∴当2x1x2≤0时，f（x）是V形函数；当2x1x2＞0时，f（x）不是V形函数；
（2）证明：假设对任意x1，x2∈R，有lgg（x1+x2）≤lgg（x1）+lgg（x2），
则lgg（x1+x2）-lgg（x1）-lgg（x2）=lg[（x1+x2）2+2]-lg（x12+2）-lg（x22+2）≤0，
∴（x1+x2）2+2≤（x12+2）（x22+2），
∴x12x22+（x1-x2）2+2≥0，显然成立，
∴假设正确，g（x）是对数V形函数；
（3）解：f（x）是对数V形函数
证明：∵f（x）是V形函数，∴对任意x1，x2∈R，有f（x1+x2）≤f（x1）+f（x2），
∵对任意x∈R，有f（x）≥2，∴
| 1 |
| f(x1) |
| 1 |
| f(x2) |
∴f（x1+x2）≤f（x1）f（x2），
∴lgf（x1+x2）≤lgf（x1）+lgf（x2），
∴f（x）是对数V形函数．
点评：本题考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是正确理解新定义．
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