Question

如图，已知圆G：x2+y2-2x-

2

y=0经过椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点F及上顶点B，过椭圆外一点（m，0）（ma）且倾斜角为

5

6

π的直线l交椭圆于C，D两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若

FC

•

FD

＜0，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（I）对于圆G：x2+y2-2x-

2

y=0经过点F，B，分别令y=0，x=0，即可解得F（2，0），B（0，

2

），可得c=2，b=

2

．再利用a²=b²+c²即可得到a．
（II）由题意得直线l的方程为y=-

3

3

(x-m)(m＞

6

)．与椭圆方程联立即可得到根与系数的关系，再利用数量积即可得出．

解答：解：（1）∵圆G：x2+y2-2x-

2

y=0经过点F，B，分别令y=0，x=0，
解得F（2，0），B（0，

2

），
∴c=2，b=

2

．
∴a²=b²+c²=6．
故椭圆的方程为

x2

6

+

y2

2

=1．
（2）由题意得直线l的方程为y=-

3

3

(x-m)(m＞

6

)．
由

x2 6 + y2 2 =1 y=- 3 3 (x-m)

消去y得2x²-2mx+m²-6=0，
由△=4m²-8（m²-6）＞0解得-2

3

＜m＜2

3

．
又m＞

6

，∴

6

＜m＜2

3

．
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则x₁+x₂=m，x1x2=

m2-6

2

．
y₁y₂=(-

3

3

)2(x1-m)(x2-m)=

1

3

[x1x2-m(x1+x2)+m2]
∵

FC

=(x1-2，y1)，

FD

=(x2-2，y2)．
∴

FC

•

FD

=（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=

4

3

x1x2-

m+6

3

(x1+x2)+

m2

3

+4=

2m(m-3)

3

．
∵

FC

•

FD

＜0，∴

2m(m-3)

3

＜0．
解得0＜m＜3，又

6

＜m＜2

3

．
∴

6

＜m＜3．

点评：本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、数量积运算、一元二次不等式的解法等基础知识与基本技能方法，属于难题．