Question

已知函数y=

3

sinωx•cosωx+cos²ωx（ω＞0）的周期为

π

2

．
（1）求ω的值；
（2）当0≤x≤

π

4

时，求函数的最大值和最小值以及相应的x的值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式以及两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过周期求出ω的值；
（2）根据x的范围，确定4x+

π

6

，求出y的范围，即可得到函数的最值，以及x 的值．

解答：解：（1）函数f（x）=

3

sinωx•cosωx+cos²ωx=

3

2

sin2ωx +

1

2

cos2ωx -

1

2

=sin（ωx+

π

6

 ）-

1

2

由f（x）的周期 T=

2π

ω

=

π

2

，
得ω=2．
（2）由（1）可知f（x）=sin（4x+

π

6

 ）-

1

2

∵0≤x≤

π

4

，∴

π

6

≤4x+

π

6

≤

7π

6

，∴0≤sin（4x+

π

6

 ）-

1

2

≤

3

2

，
当x=

π

4

时，y有最小值为0，当x=

π

12

时函数有最大值为

3

2

．

点评：本题是中档题，考查三角函数的化简二倍角公式的应用，两角和的正弦函数的应用，三角函数在闭区间最值的求法，考查计算能力．常考题型．