Question

已知椭圆C:=1,F为其右焦点,A为左顶点,l为右准线,过F的直线l′与椭圆交于异于A的P、Q两点;

(1)求的取值范围;

(2)若AP∩l=M,AQ∩l=N,求证:M、N两点的纵坐标之积为定值.

Answer 1

答案：(理21文22)解:(1)①当直线PQ的斜率不存在时,点P(1,),Q(1,-),A(-2,0),

=(3,),=(3,-),=3×3-=.

②设直线PQ的斜率为k,P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂),方程为y=k(x-1)(k≠0),

代入椭圆方程得(4k²+3)x²-8k²x+4k²-12=0.∴

=(x₁+2,y₁),=(x₂+2,y₂).=x₁x₂+2(x₁+x₂)+4+y₁y₂

=(k²+1)x₁x₂+(2-k²)(x₁+x₂)+4+k²=.

∵,∴0＜＜.综上所述,∴0＜≤.

(2)设M(4,y₃),N(4,y₄),∴y₃=.∴y₄=,

y₃·y₄===-9.