Question

（2013•顺义区一模）已知椭圆C：

x2

a2

+y²=1（a＞1）的上顶点为A，左焦点为F，直线AF与圆M：x²+y²+6x-2y+7=0相切．过点（0，-

1

2

）的直线与椭圆C交于P，Q两点．
（I）求椭圆C的方程；
（II）当△APQ的面积达到最大时，求直线的方程．

Answer 1

分析：（I）写出直线AF的方程，由直线AF与圆M相切得关于c的方程，解出c再由a²=c²+b²即可求得a值；
（II）易判断直线PQ的斜率存在，设出其点斜式方程，根据弦长公式表示出PQ，根据点到直线的距离公式表示出点A（0，1）到直线PQ的距离，由三角形面积公式可表示出△APQ的面积，根据该函数的结构特点转化为二次函数即可求得面积最大时k的值；

解答：解：（I）将圆M的一般方程x²+y²+6x-2y+7=0化为标准方程（x+3）²+（y-1）²=3，则圆M的圆心M（-3，1），半径r=

3

．
由A(0，1)，F(-c，0)(c=

a2-1

)得直线AF的方程为x-cy+c=0．
由直线AF与圆M相切，得

|-3-c+c|

1+c2

=

3

，
解得c=

2

或c=-

2

（舍去）．
当c=

2

时，a²=c²+1=3，
故椭圆C的方程为

x2

3

+y2=1．
（II）由题意可知，直线PQ的斜率存在，设直线的斜率为k，则直线PQ的方程为y=kx-

1

2

．
因为点(0，-

1

2

)在椭圆内，所以对任意k∈R，直线都与椭圆C交于不同的两点．
由

y=kx- 1 2 x2 3 +y2=1

得(1+3k2)x2-3kx-

9

4

=0．
设点P，Q的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），则y1=kx1-

1

2

，y2=kx2-

1

2

，x1+x2=

3k

1+3k2

，x1x2=-

9

4(1+3k2)

，
所以|PQ|=

(x2-x1)2+(y2-y1)2

=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

3 (1+k2)(1+4k2)

1+3k2

．
又因为点A（0，1）到直线y=kx-

1

2

的距离d=

3

2 k2+1

，
所以△APQ的面积为S=

1

2

|PQ|•d=

9 1+4k2

4(1+3k2)

．
设t=

1

1+3k2

，则0＜t≤1且k2=

1

3t

-

1

3

，S=

9

4

t•

4 3t - 1 3

=

9

4

4t 3 - t2 3

=

9

4

- 1 3 (t-2)2+ 4 3

．
因为0＜t≤1，所以当t=1时，△APQ的面积S达到最大，
此时

1

1+3k2

=1，即k=0．
故当△APQ的面积达到最大时，直线的方程为y=-

1

2

．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及直线与圆方程的求解，考查学生综合运用知识解决问题的能力，有关的基本公式、常用方程是解决问题的基础．