Question

【题目】已知函数 有两个极值点x1 ， x2 ， 其中b为常数，e为自然对数的底数．
（1）求实数b的取值范围；
（2）证明：x1+x2＞2．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）的定义域为R，f'（x）=x+bex．

因为函数f（x）有两个极值点x1，x2，所以f'（x）=x+bex有两个变号零点，

故关于x的方程 有两个不同的解，

令 ，则 ，

当x∈（﹣∞，1）时g'（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，g'（x）＜0，

所以函数 在区间（﹣∞，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减，

又当x→﹣∞时，g（x）→﹣∞；当x→+∞时，g（x）→0，且 ，

故 ，所以

（2）解：不妨设x1＜x2，由（1）可知，x1＜1＜x2，所以x1，2﹣x2∈（﹣∞，1），

因为函数 在区间（﹣∞，1）上单调递增，

若x1+x2＞2即x1＞2﹣x2时，g（x1）＞g（2﹣x2）即g（x1）﹣g（2﹣x2）＞0．

又g（x1）=g（x2），所以g（x1）﹣g（2﹣x2）＞0可化为g（x2）﹣g（2﹣x2）＞0，

即 即 ，

令h（t）=e2t﹣e2t（2﹣t），则h（1）=0，h'（t）=e2﹣e2t（3﹣2t），

令φ（t）=h'（t），则φ（1）=0，φ'（t）=4e2t（t﹣1），

当t＞1时，φ'（t）＞0，所以h'（x）在区间（1，+∞）上单调递增，则h'（t）＞h'（1）=0，

所以h（t）在区间（1，+∞）上单调递增，h（t）＞h（1）=0．证毕

【解析】（1）求出函数的导数，问题转化为关于x的方程 有两个不同的解，令 ，则 ，根据函数的单调性求出b的范围即可；（2）问题转化为g（x2）﹣g（2﹣x2）＞0，即 ，令h（t）=e2t﹣e2t（2﹣t），根据函数的单调性得到h（t）＞0，从而证出结论．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能正确解答此题．