题目内容
3．函数f（x）=$\frac{{x}^{2}+2x+a}{x}$，x∈[1，+∞），若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．分析 由题意可得x2+2x+a＞0对x≥1恒成立，运用参数分离和二次函数的最值求法，即可得到最小值，进而得到a的范围．
解答 解：对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，
即有x2+2x+a＞0对x≥1恒成立，
即为-a＜x2+2x=（x+1）2-1的最小值，
由x2+2x在[1，+∞）递增，
即有x=1，取得最小值，且为3，
则-a＜3，解得a＞-3，
故实数a的取值范围是（-3，+∞）．
点评 本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和二次函数的最值求法，属于中档题和易错题．
练习册系列答案
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13．下列式子成立的是（ ）
| A． | a$\sqrt{-a}$=$\sqrt{{-a}^{3}}$ | B． | a$\sqrt{-a}$=-$\sqrt{-{a}^{3}}$ | C． | a$\sqrt{-a}$=$\sqrt{{a}^{3}}$ | D． | a$\sqrt{-a}$=-$\sqrt{{a}^{3}}$ |