Question

若正三棱锥底面边长为4，体积为1，则侧面和底面所成二面角的大小等于

 

．（结果用反三角函数值表示）

Answer 1

分析：二面角的度量关键在于找出它的平面角，构造平面角常用的方法就是三垂线法．取BC的中点D，连接SD、AD，则SD⊥BC，AD⊥BC，所以∠SDA为侧面与底面所成二面角的平面角．在平面SAD中，作SO⊥AD与AD交于O，则SO为棱锥的高，大小可由体积求得．

解答：解：取BC的中点D，连接SD、AD，则SD⊥BC，AD⊥BC．
∴∠SDA为侧面与底面所成二面角的平面角，设为α．
在平面SAD中，作SO⊥AD与AD交于O，则SO为棱锥的高．
AO=2DO，∴OD=

2

3

3

．
又V_S-ABC=

1

3

•

1

2

AB•BC•sin60°•h=1，
∴h=

3

4

．∴tanα=

SO

DO

=

3 4

2 3 3

=

3

8

．
∴α=arctan

3

8

．

点评：本小题主要考查空间线面关系、二面角的度量等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．