Question

10．已知椭圆的中心为坐标原点O，它的短轴长为$2\sqrt{2}$，一个焦点F的坐标为（c，0）（c＞0），一个定点A的坐标为$（{\frac{10}{c}-c，0}）$且$\overrightarrow{OF}=2\overrightarrow{FA}$．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知过焦点F的直线交椭圆于P，Q两点．
①若OP⊥OQ，求直线PQ的斜率；
②若直线PQ的斜率为1，在线段OF之间是否存在一个点M（x₀，0），使得以MP，MQ为邻边构成的平行四边形为菱形，若存在，求出M点的坐标；不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由椭圆短轴长为$2\sqrt{2}$，一个焦点F的坐标为（c，0）（c＞0），一个定点A的坐标为$（{\frac{10}{c}-c，0}）$且$\overrightarrow{OF}=2\overrightarrow{FA}$，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆方程．
（2）①设设过焦点的直线方程为y=k（x-2），与椭圆联立，得（1+3k²）x²-12k²x+12k²-6=0，由此利用韦达定理、向量垂直、向量的数量积，结合已知条件能求出直线PQ的斜率．
②假设在线段OF上存在一个点M（x₀，0），使得MP、MQ为邻边构成一个平行四边形为菱形，由题意，k_PO=1，由此利用直线垂直的性质，结合已知条件能求出结果．

解答 解：（1）∵椭圆的中心为坐标原点O，它的短轴长为$2\sqrt{2}$，一个焦点F的坐标为（c，0）（c＞0），
一个定点A的坐标为$（{\frac{10}{c}-c，0}）$且$\overrightarrow{OF}=2\overrightarrow{FA}$，
∴设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，（a＞b＞0），
2b=2$\sqrt{2}$，解得b=$\sqrt{2}$，
$\overrightarrow{OF}=（c，0），\overrightarrow{FA}=（\frac{10}{c}-2c，0）$，
∵$\overrightarrow{OF}=2\overrightarrow{FA}$，∴$c=\frac{20}{c}-4c$，解得c=2，
∴a²=2+4=6，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（2）①设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），设过焦点的直线方程为y=k（x-2），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+3k²）x²-12k²x+12k²-6=0，
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{12{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{12{k}^{2}-6}{1+3{k}^{2}}$，
∵OP⊥OQ，∴$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$=0，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∵${y}_{1}{y}_{2}={k}^{2}（{x}_{1}-2）（{x}_{2}-2）$，
∴x₁x₂+y₁y₂=（k²+1）x₁x₂-2k²（x₁+x₂）+4k²=$\frac{10{k}^{2}-6}{1+3{k}^{2}}$=0，
∴k=±$\frac{\sqrt{15}}{5}$．
②假设在线段OF上存在一个点M（x₀，0），使得MP、MQ为邻边构成一个平行四边形为菱形，
由题意，k_PO=1，
设PO中点N（x_N，y_N），
由MN⊥PQ，得${k}_{MN}=\frac{{y}_{N}}{{x}_{N}-{x}_{0}}$=-1，
∴x₀=x_N+y_N，
又${x}_{N}=\frac{{x}_{1}+{x}_{0}}{2}=\frac{6{k}^{2}}{1+3{k}^{2}=\frac{3}{2}}$，${y}_{N}=k（{x}_{N}-2）=-\frac{1}{2}$，
∴x₀=1，
∴存在M（1，0）．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查直线的斜率的求法，考查满足条件的点的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、韦达定理的合理运用．