Question

实数x，y滿足x²+y²+2x-4y+1=0，
求（1）的最大值和最小值；
（2）2x+y的最大值和最小值；
（3）的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）把圆的方程化为标准形式，求出圆心坐标和半径， 表示圆上的点（x，y）与点A（4，0）连线的斜率，
过点A的圆的切线有两条，一条是x轴，另一条是AM，AM的斜率最小，x轴的斜率最大．
（2） 令 2x+y=t，t表示过圆上的点且斜率等于-2的直线在y轴上的截距，当直线2x+y=t与圆相切时得到的t值，
一个最大，另一个最小．
（3）= 表示圆上的点与点B（1，0）连线的长度，最大值是|CB|加上半径2，
最小值是|CB|减去半径2．
解答：解：x²+y²+2x-4y+1=0 即 （x+1）²+（y-2）²=4，
表示一个以C（-1，2）为圆心，以2为半径的圆，如图：
（1） 表示圆上的点（x，y）与点A（4，0）连线的斜率，
设圆的切线斜率为k，圆的切线方程为 y-0=k（x-4），
即 kx-y-4k=0，由 2=，k=0 或-20，
结合图形知， 的最大值为0，最小值为-20．
（2） 令 2x+y=t，t表示过圆上的点且斜率等于-2的直线在y轴上的截距，
当直线2x+y=t和圆相切时，有 2=，∴t=±2，
故 2x+y的最大值为 2，最小值为-2．
（3）= 表示圆上的点与点B（1，0）连线的长度，
圆心C（-1，2）到点B（1，0）的长度是 2，
∴  的最大值2+2，最小值为 2-2．
点评：本题考查斜率公式的应用，直线在y轴上的截距的意义，点到直线的距离公式的应用，体现了数形结合的数学思想．