Question

实数x，y滿足x²+y²+2x-4y+1=0，
求（1）

y

x-4

的最大值和最小值；
（2）2x+y的最大值和最小值；
（3）

x2+y2-2x+1

的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）把圆的方程化为标准形式，求出圆心坐标和半径，

y

x-4

 表示圆上的点（x，y）与点A（4，0）连线的斜率，过点A的圆的切线有两条，一条是x轴，另一条是AM，AM的斜率最小，x轴的斜率最大．
（2）令 2x+y=t，t表示过圆上的点且斜率等于-2的直线在y轴上的截距，当直线2x+y=t与圆相切时得到的t值，一个最大，另一个最小．
（3）

x2+y2-2x+1

=

(x-1)2+y2

 表示圆上的点与点B（1，0）连线的长度，最大值是|CB|加上半径2，
最小值是|CB|减去半径2．

解答：解：x²+y²+2x-4y+1=0 即 （x+1）²+（y-2）²=4，
表示一个以C（-1，2）为圆心，以2为半径的圆，如图：
（1）

y

x-4

 表示圆上的点（x，y）与点A（4，0）连线的
斜率，
设圆的切线斜率为k，圆的切线方程为 y-0=k（x-4），
即 kx-y-4k=0，由 2=

|-k-2-4k|

k2+1

，k=0 或-

20

21

，
结合图形知，

y

x-4

 的最大值为0，最小值为-

20

21

．
（2）令 2x+y=t，t表示过圆上的点且斜率等于-2的
直线在y轴上的截距，
当直线2x+y=t和圆相切时，有 2=

|-2+2-t|

5

，∴t=±2

5

，
故 2x+y的最大值为 2

5

，最小值为-2

5

．
（3）

x2+y2-2x+1

=

(x-1)2+y2

 表示圆上的点与点B（1，0）连线的长度，
圆心C（-1，2）到点B（1，0）的长度是 2

2

，
∴

x2+y2-2x+1

  的最大值2

2

+2，最小值为 2

2

-2．

点评：本题考查斜率公式的应用，直线在y轴上的截距的意义，点到直线的距离公式的应用，体现了数形结合的数学思想．