题目内容

设α∈R，f（x）=cosx（asinx-cosx）+cos²（ $数学公式$ -x）满足 $数学公式$ ，求函数f（x）在 $数学公式$ 上的最大值和最小值．

解：f（x）=cosx（asinx-cosx）+cos²（ $\text{[math]}$ -x）
=asinxcosx-cos²x+sin²x
= $\text{[math]}$
由 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$
解得a=2 $\text{[math]}$
所以f（x）=2sin（2x- $\text{[math]}$ ），
所以x∈[ $\text{[math]}$ ]时2x- $\text{[math]}$ ，f（x）是增函数，
所以x∈[ $\text{[math]}$ ]时2x- $\text{[math]}$ ，f（x）是减函数，
函数f（x）在 $\text{[math]}$ 上的最大值是：f（ $\text{[math]}$ ）=2；
又f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ；
所以函数f（x）在 $\text{[math]}$ 上的最小值为：f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ；
分析：利用二倍角公式化简函数f（x），然后 $\text{[math]}$ ，求出a的值，进一步化简为f（x）=2sin（2x- $\text{[math]}$ ），然后根据x的范围求出2x- $\text{[math]}$ ，的范围，利用单调性求出函数的最大值和最小值．
点评：本题是中档题，考查三角函数的化简，二倍角公式的应用，三角函数的求值，函数的单调性、最值，考查计算能力，常考题型．