Question

设α∈R，f（x）=cosx（asinx-cosx）+cos²（

π

2

-x）满足f(-

π

3

)=f(0)，求函数f（x）在[

π

4

，

11π

24

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：利用二倍角公式化简函数f（x），然后f(-

π

3

)=f(0)，求出a的值，进一步化简为f（x）=2sin（2x-

π

6

），然后根据x的范围求出2x-

π

6

，的范围，利用单调性求出函数的最大值和最小值．

解答：解：f（x）=cosx（asinx-cosx）+cos²（

π

2

-x）
=asinxcosx-cos²x+sin²x
=

a

2

sin2x-cos2x
由f(-

π

3

)=f(0)得-

3

2

•

a

2

+

1

2

=-1
解得a=2

3

所以f（x）=2sin（2x-

π

6

），
所以x∈[

π

4

，

π

3

]时2x-

π

6

∈[

π

3

，

π

2

]，f（x）是增函数，
所以x∈[

π

3

，

11π

24

]时2x-

π

6

∈[

π

2

，

3π

4

]，f（x）是减函数，
函数f（x）在[

π

4

，

11π

24

]上的最大值是：f（

π

3

）=2；
又f（

π

4

）=

3

，f（

11π

24

）=

2

；
所以函数f（x）在[

π

4

，

11π

24

]上的最小值为：f（

11π

24

）=

2

；

点评：本题是中档题，考查三角函数的化简，二倍角公式的应用，三角函数的求值，函数的单调性、最值，考查计算能力，常考题型．