Question

如图所示，空间直角坐标系中，直三棱柱ABC-A′B′C′，AB=BC=2，BB′=2，N、M分别是A′C′、B′C′的中点．
（1）试画出该直三棱柱ABC-A′B′C′的侧视图．并标注出相应线段长度值；
（2）求证：直线AN与BM相交，并求二面角M-AN-C的余弦值．

Answer 1

分析：（1）要画直三棱柱的侧视图，我们可以直观图可得，B为直角，侧面是一个边长为2的正方形．
（2）要证明AN和BM相交，我们可以结合公理3，证明三线共点，要求二面角M-AN-C的余弦值，我们可以A为坐标原点，AB，AC，AA'，为坐标轴建立空间坐标系，利用空间向量求解．

解答：解：（1）直三棱柱ABC-A′B′C′的侧视图如下图示：

（2）证明：如下图所示：

∵由MN∥A'B'，MN=

1

2

A'B'，
∴MN∥AB，MN=

1

2

AB，
则四边形AMNB为梯形．
令AM∩BN=P，
则P∈AM，而AM?平面ACC'A'，P∈BN，BN?平面ACC'A'，
平面ACC'A'∩平面ACC'A'=CC'，∴P∈CC'．
∴直线AN与BM相交．
以A为坐标原点，AB，AC，AA'，为坐标轴建立空间坐标系，
则易得：平面MAN的一个法向量为

n

=(2，0，-1)，
平面CAN的一个法向量为

m

=B′

N=

(1，1，0)，

m

，

n

=

2

2 × 5

=

10

5

故二面角M-AN-C的余弦值

10

5

．

点评：空间两条直线夹角的余弦值等于他们方向向量夹角余弦值的绝对值；
空间直线与平面夹角的余弦值等于直线的方向向量与平面的法向量夹角的正弦值；
空间锐二面角的余弦值等于他的两个半平面方向向量夹角余弦值的绝对值；