Question

求关于x的不等式：ax²-2（a+1）x+4≥0（a为实数）的解集．

Answer 1

考点：其他不等式的解法,一元二次不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：分别讨论a的取值，利用一元二次不等式的解法即可得到结论．

解答： 解：①若a=0，不等式等价为2x≤4，即x≤2．
②当a≠0时，不等式等价为（x-2）（ax-2）≥0，
不等式对应方程（x-2）（ax-2）=0的根为2和

2

a

，
若a＜0，则

2

a

＜2，
此时不等式（x-2）（ax-2）≥0，等价为a(x-2)(x-

2

a

)≥0，
即(x-2)(x-

2

a

)≤0，
解得

2

a

≤x≤2．
若a＞0，由

2

a

=2得a=1，
当a=1时，不等式等价为（x-2）（x-2）≥0此时解集为R．
当0＜a＜1时，

2

a

＞2，不等式等价为(x-2)(x-

2

a

)≥0，此时x≤2或x≥

2

a

．
当a＞1时，

2

a

＜2，不等式等价为(x-2)(x-

2

a

)≥0，此时x≤

2

a

或x≥2．
综上：不等式的解集为：
当a=0时，不等式的解集为{x|x≤2}，
当a=1时，不等式的解集为R，
当a＜0时，不等式的解集为{x|

2

a

≤x≤2}，
当0＜a＜1时，不等式的解集为{x|x≤2或x≥

2

a

}，
当a＞1时，不等式的解集为{x|x≤

2

a

或x≥2}．

点评：本题主要考查一元二次不等式的解法，要对参数a进行分类讨论，综合性较强，运算量较大．