Question

已知曲线C：y=

4-x2

(0≤x≤2)与函数f（x）=log_ax及函数g（x）=a^x，（其中a＞1）的图象分别交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则x₁²+x₂²的值为（　　）

• A、16
• B、8
• C、4
• D、2

Answer 1

分析：曲线C：y=

4-x2

(0≤x≤2)以原点为圆心以2为半径在y轴右侧的半圆，函数f（x）=logax及函数g（x）=ax互为反函数，由反函数的对称性可知x₂=y₁，再根据A（x₁，y₁）在曲线C上可知x₁²+y₁²=x₁²+x₂²=4．

解答：解：∵y=

4-x2

(0≤x≤2)，∴x²+y²=4（0≤x≤2），
∵曲线C：y=

4-x2

(0≤x≤2)与函数f（x）=log_ax及函数g（x）=a^x，（其中a＞1）的图象分别交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），且函数f（x）=logax及函数g（x）=ax互为反函数，
∴A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）关于直线y=x对称，
∴x₂=y₁．∵A（x₁，y₁）在曲线C上，
∴x₁²+y₁²=x₁²+x₂²=4．
故答案是4．

点评：函数f（x）=logax及函数g（x）=ax互为反函数，由反函数意义即对称性解题．