Question

已知曲线C：y=3x⁴-2x³-9x²+4
（1）求曲线C上切点的横坐标为1的切线l的方程
（2）第（1）问中的切线l与曲线C是否还有其他公共点？如果有，请求出交点坐标．

Answer 1

分析：（1）根据导数的几何意义求出函数在x=1处的导数，从而得到切线的斜率，再利用点斜式方程写出切线方程即可．
（2）由（1）得出的切线方程与y=3x⁴-2x³-9x²+4组成方程组，解得两组解，从而得出切线与曲线C还有其他的公共点．

解答：解：（1）y'=12x³-6x²-18x，
y'|_x=1=12×1³-6×1²-18×1=-12，
而切点的坐标为（1，-4）
∴曲线y=3x⁴-2x³-9x²+4在x=1的处的切线方程为：y+4=-12（x-1），即12x+y-8=0；
（2）由方程组：

12x+y-8=0 y=3x4-2x3-9x2+4

解得：

x=1 y=-4

或

x=-2 y=32

或

x= 2 3 y=0

故切线与曲线C还有其他的公共点：（-2，32），（

2

3

，0）．

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力和方程思想，属于基础题．