题目内容

椭圆C₁： $数学公式$ =1（a＞b＞0）的左右顶点分别为A、B．点P双曲线C₂： $数学公式$ =1在第一象限内的图象上一点，直线AP、BP与椭圆C₁分别交于C、D点．若△ACD与△PCD的面积相等．
（1）求P点的坐标；
（2）能否使直线CD过椭圆C₁的右焦点，若能，求出此时双曲线C₂的离心率，若不能，请说明理由．

解：（1）设P（x₀，y₀）（x₀＞0，y₀＞0），又有点A（-a，0），B（a，0）．
∵S_△ACD=S_△PCD，
∴C为AP的中点，∴ $\text{[math]}$ ．
将C点坐标代入椭圆方程，得 $\text{[math]}$ ，
又 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
∴x₀=2a（x₀=-a舍去），
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．
（2）∵ $\text{[math]}$ ，
直线PD： $\text{[math]}$ 代入 $\text{[math]}$ ?2x²-3ax+a²=0
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
∴CD垂直于x轴．若CD过椭圆C₁的右焦点，则 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．故可使CD过椭圆C₁的右焦点，此时C₂的离心率为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）设P（x₀，y₀）（x₀＞0，y₀＞0），又有点A（-a，0），B（a，0）．由S_△ACD=S_△PCD，知C为AP的中点， $\text{[math]}$ ．将C点坐标代入椭圆方程，得 $\text{[math]}$ ，由此能够推导出 $\text{[math]}$ ．
（2）由 $\text{[math]}$ ，把直线PD： $\text{[math]}$ 代入 $\text{[math]}$ ?2x²-3ax+a²=0．由此入手能够导出可使CD过椭圆C₁的右焦点，此时C₂的离心率为 $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．