Question

如图，在直三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，BA=BC=BB₁=2，∠ABC=90°，点D、E分别是棱AC和BB₁的中点，点F是棱B₁C₁的动点.

   （1）证明A₁E⊥DF；

   （2）求点E到平面AB₁C的距离；

   （3）求二面角B₁―A₁C―C₁的大小.

Answer 1

法一：

                                 

（1）作线段AB的中点G，连接GD，GB₁，

所以

所以GD=B₁F，所以FD//B₁G，

因为三棱柱是直三棱柱，

所以FB₁⊥B₁A₁AB，B₁G是线段FD在平面B₁A₁AB上的射影；

在正方形A₁ABB₁中，因为G，E分别是线段AB与B₁B的中点，所以△A₁B₁E与△B₁BG全等，因此∠B₁GB=∠B₁EA₁，

所以∠B₁GB+∠EB₁G=∠B₁EA₁+∠EB₁G=，则A₁E⊥B₁G，所以A₁E⊥DF

（2）设求点E到平面AB₁C的距离为d，因为AB⊥平面B₁EC，

由所以

因为

所以   

   （3）在等腰直角三角形A₁B₁C₁中过点B₁作斜边A₁C₁有垂线，垂足为H，

所以B₁H⊥平面A₁ACC₁，在平面A₁ACC₁中过点H作直线A₁C的垂线，

垂足为I连接B₁C，则∠B₁IH就是二面角求二面角B₁―A₁C―C₁的平面角，

    等腰，

    在

    所以，即二面角B₁―A₁C―C₁的大小为

    法二：（1）以B为坐标原点，以BA，BC，BB₁所在直线为x，y，z轴建立直角坐标系，则A（2，0，0），C（0，2，0），D（1，1，0），A₁（2，0，2）

    设F（0，y，2），则A₁E=（－2，0，－1），DF（－1，y－1，2），则，所以

   （2）易求平面AB₁C的法向量为

    所以点E到平面AB₁C的距离为

   （3）易求平面A₁CC₁的法向量为平面B₁A₁C的法向量为

    所以，所以，

即二面角B₁―A₁C―C₁的大小为