Question

（2012•安徽）设函数f（x）=ae^x+

1

aex

+b（a＞0）．
（Ⅰ）求f（x）在[0，+∞）内的最小值；
（Ⅱ）设曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=

3

2

x，求a，b的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设t=e^x（t≥1），则y=at+

1

at

+b，求出导函数y′=

a2t2-1

at2

，再进行分类讨论：①当a≥1时，y′＞0，y=at+

1

at

+b在t≥1上是增函数；②当0＜a＜1时，利用基本不等式y=at+

1

at

+b≥2+b，当且仅当at=1（x=-lna）时，f（x）取得最小值；
（Ⅱ）求导函数，利用曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=

3

2

x，建立方程组，即可求得a，b的值．

解答：解：（Ⅰ）设t=e^x（t≥1），则y=at+

1

at

+b
∴y′=

a2t2-1

at2

①当a≥1时，y′＞0，∴y=at+

1

at

+b在t≥1上是增函数，
∴当t=1（x=0）时，f（x）的最小值为y=a+

1

a

+b
②当0＜a＜1时，y=at+

1

at

+b≥2+b，当且仅当at=1（x=-lna）时，f（x）的最小值为b+2；
（Ⅱ）求导函数，可得）f′(x)=aex-

1

aex

∵曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=

3

2

x，
∴

f(2)=3 f′(2)= 3 2

，即

ae2- 1 ae2 = 3 2 ae2+ 1 ae2 +b=3

，解得

a= 2 e2 b= 1 2

．

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，属于中档题．