题目内容
（2012•安徽）设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，且有2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若b=2，c=1，D为BC的中点，求AD的长．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若b=2，c=1，D为BC的中点，求AD的长．
分析：（Ⅰ）根据2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC，可得2sinBcosA=sin（A+C），从而可得2sinBcosA=sinB，由此可求求角A的大小；
（Ⅱ）利用b=2，c=1，A=
，可求a的值，进而可求B=
，利用D为BC的中点，可求AD的长．
（Ⅱ）利用b=2，c=1，A=
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
解答：解：（Ⅰ）∵2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC
∴2sinBcosA=sin（A+C）
∵A+C=π-B
∴sin（A+C）=sinB＞0
∴2sinBcosA=sinB
∴cosA=
∵A∈（0，π）
∴A=
；
（Ⅱ）∵b=2，c=1，A=
∴a2=b2+c2-2bccosA=3
∴b2=a2+c2
∴B=
∵D为BC的中点，
∴AD=
=
．
∴2sinBcosA=sin（A+C）
∵A+C=π-B
∴sin（A+C）=sinB＞0
∴2sinBcosA=sinB
∴cosA=
| 1 |
| 2 |
∵A∈（0，π）
∴A=
| π |
| 3 |
（Ⅱ）∵b=2，c=1，A=
| π |
| 3 |
∴a2=b2+c2-2bccosA=3
∴b2=a2+c2
∴B=
| π |
| 2 |
∵D为BC的中点，
∴AD=
12+(
|
| ||
| 2 |
点评：本题考查余弦定理的运用，考查三角函数知识，解题的关键是确定三角形中的边与角．
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