Question

如果a，b，c是不全相等的实数，若a，b，c成等差数列，求证：

1

a

，

1

b

，

1

c

不成等差数列．

Answer 1

分析：假设

1

a

，

1

b

，

1

c

成等差数列，则

2

b

=

1

a

+

1

c

=

a+c

ac

，结合题意可得2b=a+c，代入上式可得b²=ac进而得到a=b=c，与已知矛盾．

解答：证明：假设

1

a

，

1

b

，

1

c

成等差数列，则

2

b

=

1

a

+

1

c

=

a+c

ac

，
因为a，b，c成等差数列，故2b=a+c      ①
那么

2

b

=

1

a

+

1

c

=

a+c

ac

=

2b

ac

 即    b²=ac    ②
由（1）（2）得a=b=c
与a，b，c，是不全相等的实数矛盾
故

1

a

，

1

b

，

1

c

不成等差数列．

点评：通过用利用反证法证明不等式，体会等差数列与等比数列的性质．