Question

已知是椭圆上两点，点M的坐标为.
（1）当两点关于轴对称，且为等边三角形时，求的长；
（2）当两点不关于轴对称时，证明：不可能为等边三角形.

Answer 1

（1）或，（2）详见解析.

试题分析：（1）求的长，实际求出坐标.利用正三角形性质列等量关系.设,，则.又点在椭圆上，所以解得或，或，（2）本题实际应用逆否命题与原命题等价进行解题，即当为等边三角形时，两点必关于轴对称，即横坐标相等.设，则由，可化简，同理可得，而，因此或又所以.
试题解析：解：
（1）设,，                   1分
因为为等边三角形，所以.                2分
又点在椭圆上，
所以消去，                  3分
得到，解得或，                 4分
当时，；
当时，.                   5分
{说明：若少一种情况扣2分}
（2）法1：根据题意可知，直线斜率存在.
设直线:，，，中点为，
联立消去得，         6分
由得到①              7分
所以,
，              8分
所以，又
如果为等边三角形，则有，             9分
所以，即，               10分
化简，②               11分
由②得，代入①得，
化简得，不成立，                 13分
{此步化简成或或都给分}
故不能为等边三角形.                  -14分
法2：设，则，且，
所以，        8分
设，同理可得，且        9分
因为在上单调
所以，有，                11分
因为不关于轴对称，所以.
所以，                -13分
所以不可能为等边三角形.                14分