Question

已知函数f（x）满足：f(1)=2，f(x+1)=

1+f(x)

1-f(x)

，则f（2010）=

 

．

Answer 1

分析：由x=1、2、3、4、5，分别求出f（1），f（2），f（3），f（4），f（5），观察可知f（x）是周期为4的周期函数，再由2010=502×4+2，知f（2010）=f（2），进而可得答案．

解答：解：∵f(1)=2，f(x+1)=

1+f(x)

1-f(x)

，
∴f（2）=

1+2

1-2

=-3，f（3）=

1-3

1+3

=-

1

2

，
f（4）=

1- 1 2

1+ 1 2

=

1

3

，f(5)=

1+ 1 3

1- 1 3

=2．
∴f（x）是周期为4的周期函数．
∵2010=502×4+2，
∴f（2010）=f（2）=-3．
故答案为：-3．

点评：本题考查数列的递推式，解题时要注意周期函数公式的灵活运用，