Question

等差数列{a_n}的各项均为正数，a₁=3，前n项和为S_n，{b_n}为等比数列，b₁=2，且b₂S₂=32，b₃S₃=120．
（1）求a_n与b_n；
（2）求数列{a_nb_n}的前n项和T_n．
（3）若

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

≤x2+ax+1对任意正整数n和任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设{a_n}的公差为d，{b_n}的公比为q，则d为正整数，利用等差数列和等比数列的通项公式，根据b₂S₂=32，b₃S₃=120建立方程组求得d和q，进而根据数列的首项求得a_n与b_n．
（2）根据（1）中求得的a_n与b_n，利用错位相减法求得数列{a_nb_n}的前n项和T_n．
（3）利用裂项法求得

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

3

4

-

2n+3

2(n+1)(n+2)

＜

3

4

，进而可知问题等价于f（x）=x²+ax+1的最小值大于或等于

3

4

，进而求得a的范围．

解答：解：（1）设{a_n}的公差为d，{b_n}的公比为q，则d为正整数，a_n=3+（n-1）d，b_n=2q^n-1
依题意有

S3b3=(9+3d)2q2=120 S2b2=(6+d)2q=32

，即

(9+3d)q2=60 (6+d)q=16

，
解得

d=2 q=2

，或者

d=- 6 5 q= 10 3

（舍去），
故a_n=3+2（n-1）=2n+1，b_n=2ⁿ．
（2）a_nb_n=（2n+1）•2ⁿ．T_n=3•2+5•2²++（2n-1）•2^n-1+（2n+1）•2ⁿ，2T_n=3•2²+5•2³++（2n-1）•2ⁿ+（2n+1）•2ⁿ⁺¹，
两式相减得-T_n=3•2+2•2²+2•2³++2•2ⁿ-（2n+1）2ⁿ⁺¹=2+2²+2³++2ⁿ⁺¹-（2n+1）2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺²-2-（2n+1）2ⁿ⁺¹=（1-2n）2ⁿ⁺¹-2，
所以T_n=（2n-1）•2ⁿ⁺¹+2．
（3）S_n=3+5+…+（2n+1）=n（n+2），
∴

1

S1

+

1

S2

++

1

Sn

=

1

1×3

+

1

2×4

+

1

3×5

++

1

n(n+2)

=

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

++

1

n

-

1

n+2

)=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)=

3

4

-

2n+3

2(n+1)(n+2)

＜

3

4

，
问题等价于f（x）=x²+ax+1的最小值大于或等于

3

4

，
即1-

a2

4

≥

3

4

，即a²≤1，解得-1≤a≤1．

点评：本题主要考查了等差数列的性质和数列的求和．数列由等差数列和等比数列构成求和时常用裂项法求和．