Question

已知倾斜角为45°的直线l过点A(1,-2)和点B,B在第一象限,且|AB|=32.

(1)求点B的坐标;

(2)若直线l与双曲线C:-y²=1(a＞0)相交于E、F两点,且线段EF的中点坐标为(4,1),求a的值;

(3)对于平面上任一点P,当点Q在线段AB上运动时,称|PQ|的最小值为P与线段AB的距离.已知点P在x轴上运动,写出点P(t,0)到线段AB的距离h关于t的函数关系式.

Answer 1

解:(1)直线AB的方程为y=x-3.

设B(x,y),由

由x＞0,y＞0得

∴点B的坐标为(4,1).

(2)由方程组得(-1)x²+6x-10=0.

设两个交点分别为E(x₁,y₁)、F(x₂,y₂),

则x₁+x₂=-.

又∵EF的中点坐标为(4,1),则=4.

∴=4,即得a=2.

(3)设线段AB上任一点Q的坐标为(x,x-3)(1≤x≤4).

则|PQ|=.

令f(x)==(1≤x≤4).

①当1≤≤4,即-1≤t≤5时,

|PQ|_min=f()=;

②当＞4,即t＞5时,f(x)在［1,4］上单调递减,

∴|PQ|_min=f(4)=;

③当＜1,即t＜-1时,f(x)在［1,4］上单调递增,

∴|PQ|_min=f(1)=.

综上所述,

h(t)=