Question

在△ABC中，已知

3

sin2B=1-cos2B．
（Ⅰ）求角B的值；
（Ⅱ）若BC=2，A=

π

4

，求△ABC的面积．

Answer 1

（Ⅰ）解法一：因为

3

sin2B=1-cos2B．
所以 2

3

sinBcosB=2sin2B．                            …（3分）
因为 0＜B＜π，所以 sinB≠0，
从而 tanB=

3

，…（5分）
所以 B=

1

3

π．                                              …（6分）
解法二：依题意得 

3

sin2B+cos2B=1
所以 2sin(2B+

π

6

)=1，
即 sin(2B+

π

6

)=

1

2

．                                       …（3分）
因为 0＜B＜π，所以 

π

6

＜2B+

π

6

＜

13π

6

，
所以 2B+

π

6

=

5π

6

．                                        …（5分）
  所以 B=

1

3

π．                                             …（6分）
（Ⅱ）解法一：因为  A=

π

4

，B=

1

3

π．，
根据正弦定理得 

AC

sinB

=

BC

sinA

，…（7分）
所以 AC=

BCsinB

sinA

=

6

                                        …（8分）
因为 C=π-A-B=

5π

12

，…（9分）
所以 sinC=sin

5π

12

=sin(

π

4

+

π

6

)=

2 + 6

4

，…（11分）
所以△ABC的面积S=

1

2

AC•BCsinC=

3+ 3

2

．                  …（13分）
解法二：因为 A=

π

4

，B=

1

3

π．，
根据正弦定理得 

AC

sinB

=

BC

sinA

，…（7分）
所以 AC=

BCsinB

sinA

=

6

                               …（8分）
根据余弦定理得 AC²=AB²+BC²-2AB•BCcosB，…（9分）
化简为 AB²-2AB-2=0，解得 AB=1+

3

．             …（11分）
所以△ABC的面积S=

1

2

AB•BCsinB=

3+ 3

2

．                  …（13分）