题目内容
在△ABC中，已知∠ABC=45°，AB=
，D是BC边上的一点，AD=5，DC=3，求AC的长．
5
| ||
| 2 |
分析：在△ABD中，由正弦定理得，可得sin∠ADB=
=
，所以∠ADB=
或
，然后分∠ADB=
与∠ADB=
两种情况加以讨论，分别在△ADC中用余弦定理可得AC2的值，从而得到AC长为7或
．
| ABsinB |
| AD |
| ||
| 2 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| 19 |
解答：解：在△ABD中，由正弦定理得，
=
∴sin∠ADB=
=
=
又∵∠ADB∈（0，π），∴∠ADB=
或
，
①若∠ADB=
，则∠ADC=
，
在△ADC中，由余弦定理得AC2=AD2+DC2-2AD•DCcos∠ADC=49
∴AC=7，
②若∠ADB=
，则∠ADC=
，
在△ADC中，由余弦定理得AC2=AD2+DC2-2AD•DCcos∠ADC=19，
∴AC=
综上所述，AC长为7或
| AD |
| sin∠B |
| AB |
| sin∠ADB |
∴sin∠ADB=
| ABsinB |
| AD |
| ||||||
| 5 |
| ||
| 2 |
又∵∠ADB∈（0，π），∴∠ADB=
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
①若∠ADB=
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
在△ADC中，由余弦定理得AC2=AD2+DC2-2AD•DCcos∠ADC=49
∴AC=7，
②若∠ADB=
| 2π |
| 3 |
| π |
| 3 |
在△ADC中，由余弦定理得AC2=AD2+DC2-2AD•DCcos∠ADC=19，
∴AC=
| 19 |
综上所述，AC长为7或
| 19 |
点评：本题在△ABC中，给出∠B的度数和边AB长，BC边上的一点D到A、C两点的距离分别为5和3，求AC的长．着重考查了正弦定理和余弦定理及其应用，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目