Question

（2012•珠海一模）已知

a

=(sin(

π

2

+x)，cos(π-x))，

b

=(cosx，-sinx)，函数f(x)=

a

•

b

．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）在△ABC中，已知A为锐角，f（A）=1，BC=2，B=

π

3

，求AC边的长．

Answer 1

分析：（1）利用向量数量积的坐标运算写出函数f（x），利用倍角公式降幂后化积，则周期可求；
（2）把A代入函数解析式，由f（A）=1结合角A的范围求出角A，然后直接利用正弦定理求AC的长度．

解答：解：（1）由

a

=(sin(

π

2

+x)，cos(π-x))，

b

=(cosx，-sinx)，
所以f(x)=

a

•

b

=sin(

π

2

+x)cosx-sinxcos(π-x)
=cos²x+sinxcosx=

1+cos2x

2

+

1

2

sin2x
=

2

2

sin(2x+

π

4

)+

1

2

．
所以T=π；
（2）∵f（A）=cos²A+sinAcosA=1，∴sinAcosA=1-cos²A=sin²A．
∵sinA≠0，∴sinA=cosA．
又A为锐角，∴A=

π

4

．
由

AC

sinB

=

BC

sinA

，∴

AC

sin π 3

=

2

sin π 4

．
所以AC=

6

．
所以，AC边的长等于

6

．

点评：本题考查了平面向量数量积的运算，考查了两角和与差的正弦函数，考查了三角函数周期的求法，考查了利用正弦定理求解三角形，解答的关键是熟记有关公式，是中档题．