Question

【题目】如图，在四棱锥 中， ，且 .

（1）证明：平面 ⊥平面 ；
（2）若 ， ，求二面角 的余弦值.

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知 ，得AB⊥AP ， CD⊥PD.
由于AB∥CD ， 故AB⊥PD ， 从而AB⊥平面PAD.
又AB 平面PAB ， 所以平面PAB⊥平面PAD.
（2）解：在平面 内做 ，垂足为 ，
由（1）可知， 平面 ，故 ，可得 平面 .
以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向， 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 .

由（1）及已知可得 ， ， ， .
所以 ， ， ， .
设 是平面 的法向量，则
，即 ，
可取 .
设 是平面 的法向量，则
，即 ，
可取 .
则 ，
所以二面角 的余弦值为
【解析】本题主要考查面面垂直的判定以及利用空间向量求解二面角大小的问题。第一小题主要就是面面垂直判定定理的应用，要正面面面垂直，只要证明面内的一条线垂直于另一个平面即可，也就是要利用线面垂直的判定定理证明即可。第二问建立空间直角坐标系，利用空间向量中的夹角公式求解二面角的大小。