Question

如图，⊙O与⊙P相交于A、B两点，圆心P在⊙O上，⊙O的弦BC切⊙P于点B，CP及其延长线交⊙P于D，E两点，过点E作EF⊥CE，交CB的延长线于点F．
（I）求证：四点B、P、E、F共圆；
（II）若CD=2，CB=2

2

，求出由四点B、P、E、F所确定圆的直径．

Answer 1

分析：（1）欲证四点B、P、E、F共圆，只要通过三角形Rt△CBP和Rt△CEF相似证明由此四点构成的四边形对角互补即可；
（2）先根据（1）中四点B，P，E，F共圆条件得切线，再由切割线定理及三角形相似求得EF，最后再结合勾股定理求得PF即为所求圆的直径即可．

解答：证明：（I）连接PB．∵BC切⊙P于点B，
∴PB⊥BC．
又∵EF⊥CE，且∠PCB=∠FCE，
∴Rt△CBP∽Rt△CEF，
∴∠CPB=∠CFE，
∴∠EPB+∠EFB=180°，
∴四点B，P，E，F共圆（5分）
（II）∵四点B，P，E，F共圆，且EF⊥CE，PB⊥BC，
∴此圆的直径就是PF．
∵BC切⊙P于点B，且CD=2，CB=2

2

，
∴由切割线定理CB²=CD•CE，得：CE=4，DE=2，BP=1．
又∵Rt△CBP∽Rt△CEF，∴EF：PB=CE：CB，得EF=

2

．
在Rt△FEP中，PF=

PE2+EF2

=

3

，
即由四点B，P，E，F确定圆的直径为

3

（10分）

点评：本题主要考查与圆有关的比例线段，切割线定理、四点共圆的判定定理等的应用．属于基础题．