Question

【题目】已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若有两个极值点，证明：.

Answer 1

【答案】(1) 当时， 在上单调递增;

在上单调递减；时， 在上单调递增；当时，在上单调递减; 在上单调递增.

(2)见解析.

【解析】分析：（1）由，分别讨论当时，或讨论导函数的正负从而可得函数的单调性；

（2）由（1）知，且为方程的两个根，由根与系数的关系，其中，可化简，令，进而求导求最值即可证得.

详解：（1） .

令，，对称轴为.

①当时，，所以在上单调递增.

②当或时， .此时，方程两根分别为，.

当时，，当时，，当，，所以在上单调递增， 在上单调递减.

当时，，当时，，当，， 所以在上单调递减， 在上单调递增.

综上，当时， 在上单调递增;

在上单调递减；时， 在上单调递增；当时，在上单调递减; 在上单调递增.

（2）由（1）知，且为方程的两个根.

由根与系数的关系，其中.

于是

.

令，

，

所以在在上单调递减，且.

∴，即，

又，.