Question

【题目】如图，四面体OABC的三条棱OA，OB，OC两两垂直，OA=OB=2，OC=3，D为四面体OABC外一点．给出下列命题．

①不存在点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形

②不存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥

③存在点D，使CD与AB垂直并且相等

④存在无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球面上

其中真命题的序号是

Answer 1

【答案】③④

【解析】

试题∵四面体OABC的三条棱OA，OB，OC两两垂直，OA=OB=2，OC=3，

∴AC=BC=，AB=，当四棱锥CABD与四面体OABC一样时，即取CD=3，AD=BD=2

此时点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形，故①不正确，使AB=AD=BD，此时存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥，故②不正确；取CD=AB，AD=BD，此时CD垂直面ABD，即存在点D，使CD与AB垂直并且相等，故③正确；先找到四面体OABC的内接球的球心P，使半径为r，只需PD=r即可

∴存在无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球面上，故④正确