Question

【题目】已知函数，函数的图象在处的切线与直线平行.

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围；

（Ⅲ）设()是函数的两个极值点，若，试求的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）1； （Ⅱ）； （Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）利用导数的几何意义，结合平行线的斜率相等，得f′（1）=2，即可求得实数a的值；

（Ⅱ）由题意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，结合二次函数的图象和性质，求解b的取值范围；

（Ⅲ）结合（Ⅱ），可知两个极值点，，求出，令t，构造出函数；再根据，求得函数的定义域，进而利用导数求的最小值即可.

（Ⅰ）∵，∴.

∵切线与直线平行，

∴，∴.

（Ⅱ）易得()，

∴ ().

由题意，知函数存在单调递减区间,等价于在上有解，

∵，则故可设.

而，所以，要使在上有解，

则只须， 即，

故所求实数的取值范围是.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，

令，得.

∵()是函数的两个极值点，

∴()是方程的两个根，

∴，.

∴

令，∵，∴，

且.

∵，∴，

∴

化简整理，得,解得或.

而，∴.

，∴函数在单调递减，

∴.

故的最小值为.