Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=CB=CC₁=2，∠ACB=90°，E、F分别是BA、BC的中点，G是AA₁上一点，且AC₁⊥EG．
（Ⅰ）确定点G的位置；
（Ⅱ）求直线AC₁与平面EFG所成角θ的大小．

Answer 1

分析：解法一：（Ⅰ）以C为原点，分别以CB、CA、CC₁为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标，利用向量数量积为零即可求得结果；
（Ⅱ）求出平面EFG的法向量的一个法向量，利用直线的方向向量与法向量的夹角与直线与平面所成角之间的关系即可求得结果；
解法二：（Ⅰ）取AC的中点D，连接DE、DG，则ED∥BC，利用线面垂直的判定和性质定理即可求得结果；（Ⅱ）取CC₁的中点M，连接GM、FM，则EF∥GM，找出直线与平面所成的角，解三角形即可求得结果．

解答：解法一：（Ⅰ）以C为原点，分别以CB、CA、CC₁为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则F（1，0，0），E（1，1，0），A（0，2，0），C₁（0，0，2），

AC1

=(0，-2，2)
设G（0，2，h），则

EG

=(-1，1，h)．∵AC₁⊥EG，∴

EG

•

AC1

=0．
∴-1×0+1×（-2）+2h=0．∴h=1，即G是AA₁的中点．
（Ⅱ）设

m

=(x，y，z)是平面EFG的法向量，则

m

⊥

FE

，

m

⊥

EG

．
所以

0×x+1×y+0×z=0 -x+y+z=0.

平面EFG的一个法向量m=（1，0，1）
∵sinθ=

| m • AC1 |

| m |•| AC1 |

=

2

2 ×2 2

=

1

2

，
∴θ=

π

6

，即AC₁与平面EFG所成角θ为

π

6

解法二：（Ⅰ）取AC的中点D，连接DE、DG，则ED∥BC
∵BC⊥AC，∴ED⊥AC．
又CC₁⊥平面ABC，而ED?平面ABC，∴CC₁⊥ED．
∵CC₁∩AC=C，∴ED⊥平面A₁ACC₁．
又∵AC₁⊥EG，∴AC₁⊥DG．
连接A₁C，∵AC₁⊥A₁C，∴A₁C∥DG．
∵D是AC的中点，∴G是AA1的中点．
（Ⅱ）取CC₁的中点M，连接GM、FM，则EF∥GM，
∴E、F、M、G共面．作C₁H⊥FM，交FM的延长线于H，∵AC⊥平面BB₁C₁C，
C₁H?平面BB₁C₁C，∴AC⊥G₁H，又AC∥GM，∴GM⊥C₁H．∵GM∩FM=M，
∴C₁H⊥平面EFG，设AC₁与MG相交于N点，所以∠C₁NH为直线AC₁与平面EFG所成角θ．
因为C1H=

2

2

，C1N=

2

，∴sinθ=

2

2 2

=

1

2

，∴θ=

π

6

．

点评：本小题主要考查直线与平面垂直的判定，以及直线与平面平行的判定和直线与平面所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．属中档题．