Question

如图，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，AA′=AB=BC=1，∠ABC=90°．棱A′C′上有两个动点E，F，且EF=a （a为常数）．
（Ⅰ）在平面ABC内确定一条直线，使该直线与直线CE垂直；
（Ⅱ）判断三棱锥B-CEF的体积是否为定值．若是定值，求出这个三棱锥的体积；若不是定值，说明理由．

Answer 1

分析：（I）先取AC中点D，连接BD．利用△ABC为等腰三角形，得出BD⊥AC，再根据ABC-A′B′C′是直三棱柱，得到BD⊥AA′，利用线面垂直的判定定理得直线BD⊥平面ACC′A′从而有BD⊥CE，故直线BD即为所求．
（Ⅱ）根据ABC-A′B′C′是直三棱柱，有CC′⊥平面A′B′C′，利用线面垂直的性质定理得到CC′⊥EF，从而有△CEF的边EF上的高为线段CC′，从而得到△CEF的面积S是常数，由（Ⅰ）可知，BD⊥平面ACC′A′，故BD为三棱锥B-CEF的高，最后利用三棱锥的体积公式求出三棱锥B-CEF的体积V为定值．

解答：解：（Ⅰ）取AC中点D，连接BD．
∵AB=BC，∴△ABC为等腰三角形，D为底边AC中点，∴BD⊥AC．
∵ABC-A′B′C′是直三棱柱，∴AA′⊥平面ABC，
∵BD?平面ABC，∴BD⊥AA′．
又AA′∩AC=A，∴直线BD⊥平面ACC′A′．
∵CE?平面ACC′A′，∴BD⊥CE
∴直线BD即为所求．------（5分）
（Ⅱ）∵ABC-A′B′C′是直三棱柱，
∴CC′⊥平面A′B′C′，
∵EF?平面A′B′C′，∴CC′⊥EF
∴△CEF的边EF上的高为线段CC′，
由已知条件得CC′=AA′=1，且EF=a（常数），
故△CEF的面积S=

1

2

EF•CC′=

1

2

a
由（Ⅰ）可知，BD⊥平面ACC′A′，故BD为三棱锥B-CEF的高．
在等腰三角形ABC中，可求得BD=

2

2

，
∴三棱锥B-CEF的体积V=

1

3

S•BD=

2

12

a为定值．------（10分）

点评：本题主要考查了线面平行与线面垂直的判定定理的应用，注意线线关系与线面关系的相互转化，本题主要考查了应用面面垂直的性质证明线面垂直，以及三棱锥体积公式的应用．